有限数学示例

${(5 (\cos (15) + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

${(5 (\cos (45 - 30) + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.2

将被减数和减数分开。

${(5 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.3

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

${(5 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

${(5 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.2

在公分母上合并分子。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

解题步骤 1.2

$\sin (15)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $15$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)))}^{3}$

解题步骤 1.2.2

将被减数和减数分开。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))))}^{3}$

解题步骤 1.2.3

应用角度恒等式的差。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

解题步骤 1.2.4

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

解题步骤 1.2.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

解题步骤 1.2.6

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))))}^{3}$

解题步骤 1.2.7

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.2

在公分母上合并分子。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))}^{3}$

解题步骤 1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}))}^{3}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

${(5 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{3}$

解题步骤 2.2

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ 。

${(\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4})}^{3}$

解题步骤 3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}))}^{3}}{4^{3}}$

解题步骤 3.2

对 $5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{5^{3} {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

解题步骤 4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{125 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

解题步骤 5

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{125 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{64}$

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